개념 학습 적응이 승리의 키포인트

개념, 원리, 법칙의 중요성 등은 호랑이 담배 피우던 시절부터 누누이 강조되어온 말이다. 아마 이 기사의 시작도 '개념 학습이 중요해요', '원리부터 익히도록 하세요'라고 말머리를 연다면 '누가 그걸 몰라서 못하나'라고 생각하고는 페이지를 그냥 넘겨버릴는지 모른다. 하루라도 밀리면 걷잡을 수 없을 만큼 쌓여버리는 문제집 양을 소화하느라 바쁜 아이와 엄마에게 한가로운 말장난에 불과한 것이 바로 '개념'이란 말이다. 결론부터 말하자면 '개념 학습'을 원칙으로 수학 공부에 접근하는 아이가 수학의 승리자가 될 수 있다. 정부가 얼마 전 발표한 '수학교육 선진화 방안'으로 급변하게 되는 수학교육의 방향과 시험 방법을 그 이유로 들지 않고도 말이다. 이미 우리 아이들의 수학은 예전과 비교할 수 없을 만큼 변화해왔기 때문이다. 어쩌면 정부 발표가 가장 나중이었는지도 모른다.

초등학교에 입학하기 전부터 셈을 배우기 시작하고, 초등학교에 들어가서는 학기당 보통 네다섯 권의 문제집을 예사로 풀어내지만 들이는 노력과 시간, 비용에 비해 아이들의 수학 실력은 그에 한참 못 미치는 것이 현실이다. 그나마 초등학교 때는 그럭저럭 성적을 유지할지 모른다. 초등학교 과정에서는 개념 원리를 간과하고 유형 암기식으로만 학습해도 어느 정도 수학 점수를 유지할 수 있기 때문이다. 그런 탓에 엄마도 '우리 아이가 수학은 좀 하지'라고 착각하기도 쉽다. 그러나 중학생이 되면 어찌 된 일인지 너나 할 것 없이 수학에 혀를 내두르고, 고등학생이 되면 정말 많은 아이들이 수학을 포기하고 마는 안타까운 지경에 이르게 된다. 엄마들은 엄마들 대로 아이가 학년이 올라가고, 상급 학교에 진학할수록 수학 점수를 잡기 위해 이 학원, 저 학원을 수소문해가며 노력과 비용을 아끼지 않지만 결국에는 두 손, 두 발을 다 들고 '수포자('수학을 포기한 자'의 줄임말) 선언'을 하고 마는 것이다.
그렇게 일찍부터 수학 공부를 시키고, 상당히 많은 양의 문제지를 풀어내는 데도 마지막엔 수학을 포기하게 되는 근본 원인은 무엇일까? 뜬구름처럼 막연하기만 한 '개념' 학습이 이루어지지 않았기 때문이다. 수학 공부는 전형적인 벽돌 쌓기 구조의 과목이다. 당장의 점수에 연연해 단순 반복 계산 훈련과 유형 암기만으로 초등 수학의 기초를 부실하게 다졌기 때문에 튼튼하고 단단한 뿌리를 요구하는 중학교, 고등학교 수학에서 여지없이 무너져버리는 것이다. 이는 너무나 당연한 결과여서 놀랍지도 않은 일이다. 수학만큼 눈 가리고 아웅 식의 땜질 처방이 먹히지 않는 과목도 없으리라. 그렇지만 바꿔 말하면 누구라도 다시 처음부터 꼼꼼하게 수학이라는 벽돌을 쌓아간다면 '수학을 포기한 자'에서 '수학을 다시 시작한 자' 그리고 '수학에 성공한 자'로 거듭나게 된다는 역설적인 결론에 도달하기도 한다. 많은 엄마들이 수학은 타고난 '재능'이 있어야 되는 과목이라고 치부하는 경향이 있지만 사실 실패한 수학교육에 스스로 면죄부를 주기 위해 만든 말은 아닌지 자문해볼 필요가 있다. 왜냐하면 많은 전문가들이 수학 실력은 '후천적'으로 만들어지는 능력으로 보기 때문이다. 많은 연구 결과들도 이 같은 사실을 뒷받침해준다. 그래서 전문가들은 '수학 영재'가 아닌 '수학 영재 교육 대상자'라는 말이 더 적합하다고 하는 것이다.

영리한 수학교육법이란?
개념과 원리를 습득하는 방법에는 설명, 질문, 토론, 탐구 등 다양한 방법이 있다. 아이의 수준과 성향, 그리고 수학 유형에 따라 적절한 방법을 고르되, 개념을 완벽하게 이해해서 자기 것이 되도록 해주어야 한다. 문제집을 얼마나 풀었는지 '양'에 대해서는 잠시 접어두자. 예를 하나 들어보자. 아이들에게 소수의 크기 비교를 가르친다고 가정할 때, 올바른 개념 학습이 이루어지게 하려면 어떻게 가르쳐야 할까?
이렇게 네 가지 형태로 개념을 이해해두면 된다. 보통 교과서에서도 두 가지 정도만 다루고 넘어가는 편인데, 실제로 개념을 탄탄하게 익혀 수학 실력의 기반을 다지려면 위의 예와 같이 다각적으로 개념을 이해해야 하며, 그러기 위해서는 위와 같은 훈련이 필요한 것이다. 물론 유형 암기식의 문제 풀이 공부법에 익숙한 엄마는 이런 방식이 당장은 매우 비효율적으로 느껴질 것이다. 그러나 이런 개념 학습 공부법은 공부 과정 자체가 바로 개편되는 수학 선진화 방안의 '스토리텔링 수학'을 대비할 수 있는 유일한 방법이 되어준다는 점을 간과하지 말기를 바란다. 어떻게 풀까 궁리하고, 여러 방법들을 찾아내며 이야기하고, 묻고, 토론하면서 자신의 방법을 설명하기 위해 그림을 그리고, 숫자들을 나열하면서 아이들은 단순 계산이 아닌 인문학적 접근 방식의 수학 공부를 익히게 되는 것이다. 이는 아이들 수학 실력에 단단한 뿌리가 되어준다. 이때 유의해야 할 점은 문제집을 몇 권 풀었는지 가시적인 공부량에 연연해하지 말아야 한다는 것이다. 한 문제를 풀더라도 개념을 익히고, 원리를 이해한다면 생각 없이 열 권의 문제집을 푸는 것보다 그 효과가 더 크기 때문이다. 이렇게 공부한 아이는 "이 문제는 안 배워서 풀지 못하겠어요"라는 말을 하지 않는다.

수학의 재미만 지켜줘도 초등 수학은 절반 성공
초등학교 수학은 아이가 수학에 대한 흥미를 잃지 않도록 유지만 시켜주어도 절반은 성공을 거두었다고 평가할 수 있다. 초등학교 저학년 수학은 '수와 연산' 비중이 50%가 넘기 때문에 이 시기 아이들은 연산만 잘해도 수학을 잘한다는 말을 듣는다. 연산은 수학의 기초가 되기 때문에 '수와 연산'이 서투르면 당장 수학 공부에 자신감을 잃고 고학년 기초도 부실해진다. 그래서 초등학교 저학년 수학 공부는 연산 학습지를 선호하며 기계적인 계산 훈련에 치우치는 경향이 있다. 문제는 여기서 발생한다. 연산 능력은 수학의 기초를 다지면서 수학 학습에 필요한 수 감각이나 수 조작 능력을 익혀야 할 영역이건만 초등 수학을 제대로 이해하지 못하고 단순 계산 학습으로 쏠리게 되고 급격하게 수학이 어려워지는 초등학교 4학년 시기에 처음으로 '수포자'가 생기는 부작용이 초래하는 것이다.
설상가상으로 원인을 제대로 파악하지 못한 엄마는 단순히 아이의 학습량이 부족하기 때문이라고 생각해 점점 더 많은 반복 유형 학습에 매달리는 악순환이 시작된다. 단계별로 더 많은 문제를 풀고, 채점하고, 다시 풀고 채점하면서 아이들은 점점 수학에 지쳐간다. 재미도 잃고 힘든 과목이라는 편견만 생긴다. 엄마는 엄마대로 그렇게나 많은 문제를 풀었건만 시험에서 비슷한 문제를 또 틀리는 것을 확인하고는 '우리 애는 수학적인 재능이 없어'라고 섣부르게 단정 지어버리면서 엄마도 수학을 포기한다.
다시 말하지만 수학은 후천적으로 길러지는 능력에 의해 실력을 쌓는 과목이다. 올바른 수학 공부법으로 접근한다면 어떤 아이라도 '수학 100점'의 기쁨을 누릴 수 있다. 그래서 수학 점수는 '만든다'라고 표현한다. 수학은 '문제'를 배우는 것이 아니라 '개념과 원리'를 배우는 과목이다. 이제 유형 암기식의 기계적인 문제 풀이 방법은 과감히 버리자. 어설픈 선행학습으로 공부 자세에 겉멋이 들게 하지도 말자. 유행 학원만을 쫓다가 수학 공부의 주도권을 잃어버리지도 말자. 아이의 실력 여부를 냉정하게 따져보면서 어디서부터 다시 시작해야 하는지 점검부터 할 때다. 그리고 아이의 수학 교과서를 다시 한번 제대로 살펴보자. 교과서가 이끄는 방향대로 따라가는 것이 옳다. 문제집에 익숙해져 엄마도, 아이도 교과서가 불친절하게 느껴지기도 하겠지만 거기서부터 수학적 사고가 시작되는 것이다. 불편함, 비효율, 원시적인 계산법 등은 모든 위대한 수학자들의 시작점이었음을 상기해보면서 아이가 뒤처졌다면 전 단계 학년의 교과서를, 앞서가고 있다면 좀 더 심화시킬 수 있는 문제를 접하게 해주면서 단단하게 실력의 벽돌을 쌓아가면 되는 것이다.
또 수학에 관한 엄마의 태도가 무엇보다 중요하다. 은연중에 엄마 자신이 '수학은 재미없고, 어렵고, 힘든 것'이라고 아이에게 흘리고 있었는지 모른다. 이것은 수학이라는 과목을 대하는 아이의 자세에 지대한 영향을 미친다. 마지막으로 모든 문제를 다 알 필요는 없다는 사실을 냉정하게 받아들이자. 수없이 많은 문제들을 아이들이 다 풀 수는 없다. 쓸데없이 꼬아놓은 문제들도 많다. '모르는 문제는 세 개 이하'라는 식의 구체적이며 명확한 목표가 아이의 학습 동기 부여에는 더 자극이 된다. 이렇게 방향을 제대로 잡아주었다면 부모는 그저 기다려주기만 해도 된다. 자기주도학습의 키포인트는 아이가 스스로 해낼 때까지 기다려주는 것이다. 수학 점수가 아닌 수학에 대한 재미에 공부 포커스를 맞추는 것이 초등 수학을 바르게 공부할 수 있는 지름길이 되어줄 것이다.

한헌조 선생님이 풀어주는
초등 수학에 관한 엄마들의 대표 궁금증 12가지

1 우리 아이는 선천적으로 수학을 못해요
외국의 한 연구 기관에서 언어, 사회과학, 수학, 과학 네 분야를 대상으로 아동의 학습에 영향을 미치는 선천적인 재능에 관한 연구 결과를 발표한 적이 있습니다. 일반적인 예상과는 달리 선천적인 재능에 영향을 받는 분야는 사회과학-언어-과학-수학 순이었습니다. 수학은 후천적으로 만들어지는 부분이 아주 큽니다. '수학 영재'는 틀린 말이고 '수학 영재 교육 대상자'라는 말이 맞습니다. 선천적으로 못할 수 없습니다.

2 연산이 중요한가요?
매우 중요합니다. 계산은 수학을 배우는 데 필요한 도구이기 때문이죠. 시험을 잘 치르기 위해서는 계산력이 뒷받침되어야 하는 것이 엄연한 사실이고요. 그러나 계산과 연산을 분리해서 생각해야 합니다. 이 두 가지를 같은 것으로 혼돈해서 오는 부작용도 만만찮습니다. 연산의 원리를 알면 계산은 단순 반복에 지나지 않거든요. 연산 원리를 익히기 위한 좋은 방법을 택하는 것이 가장 중요합니다.

3 선행학습, 꼭 해야 할까요?
어디까지 선행을 했는지가 그 아이의 수학 실력을 판단하는 기준이 되기도 하는 게 요즘 현실입니다. 선행학습을 하지 않았다고 하면 돈 내고 다니는 학원도 들어가기 힘드니까요. 그러나 무리한 선행은 수학을 수박 겉핥기 식으로 알고 있기 쉽고, '나는 이미 그것보다 더 어려운 것도 알고 있어'라는 일종의 겉멋이 들기 쉬워 개념을 처음 접하는 아이들을 가르치는 것보다 오히려 더 어렵습니다. 선행은 철저히 아이의 상황과 흥미도에 맞춰 결정해야 하는 문제입니다.

4 교구 학습이 필수인가요?
수학에서 교구는 '개념'과 '원리'라는 강을 건너게 해주는 나룻배와 같습니다. 교구를 이용해 학습하면 강의만 듣는 것보다 기억에 오래 남거든요. 더구나 초등학교 고학년에 해당하는 13세까지는 놀이와 활동을 통한 인지 발달이 유효한 시기여서 적절한 교구 활동이 도움이 되고요. 교구가 필요하다는 데는 동의하지만 '비싼 교구'는 필수가 아닙니다. 공깃돌이나 주사위, 구술, 동전 등도 훌륭한 교구가 될 수 있습니다.

5 교과서가 중요한가요?
우스갯소리로 개념 원리에 천착하는 방법에 따라 '교과서파'와 '정석파'로 나뉜다는 말이 있습니다. 결국 아무리 좋은 참고서도 교과서를 쫓아가는 것이지 앞서 나갈 수 없음을 알 수 있습니다. 참고서는 이미 내려진 결론을 중시하지만, 현행 교과서는 결론을 찾아가는 과정을 매우 중요하게 여깁니다. 그런 책은 교과서밖에 없다고 단언할 수 있습니다.

6 계산에서 자꾸 실수를 해요
단순 계산이 틀리는 경우는 크게 세 가지로 나눌 수 있습니다. 집중력이 떨어졌을 때와 계산 연습만 반복했을 때, 그리고 어림하기를 하지 않았을 때입니다. 계산에서 실수가 있다면 아이가 어느 유형에 속하는지 파악하고 유형에 맞게 대처법을 찾아야 합니다.

7 문제를 대충 풀어요
문제를 꼼꼼히 읽지 않았거나 문제의 의도를 제대로 이해하지 못했거나 문제 풀이 과정이 산만한 것 중 하나이기 쉽습니다. 이럴 때는 사소한 공부 습관부터 바꿔주는 것이 효과적입니다. 풀기에 급급할 것이 아니라 문제를 꼼꼼히 읽고 연습장에 깨끗하게 필기하며 푸는 것을 습관으로 자리 잡게 해주는 것이지요.

8 수학 공부는 언제부터 시키면 좋을까요?
유아기에는 영어 공부에 거의 '올인'하는 경향이 있는데 유아 단계부터 '감'으로 수학적 개념을 체득하는 아이는 확실히 다릅니다. 대부분의 전문가들은 만 5세 전후를 적기로 봅니다. 두되 발달 이론에 따르면 4세 이전에는 추상적인 사고를 하기 때문에 수학 주제를 다루기 어렵다고 하고요. 다만 자칫 지나친 조기교육이 되지 않도록 주의해야 합니다.

9 저학년과 고학년의 수학 공부 방법이 다른가요?
당연히 다릅니다. 초등학교 저학년이라면 연산의 비중이 매우 높습니다만 단순 계산 반복 훈련으로 치우치지 않도록 주의해야 합니다. 초등학교 고학년이라면 '수포자'가 처음 생기는 시기이므로 성적보다는 초등학교 6학년 때까지 수학을 싫어하지 않도록 하는 것이 가장 중요합니다.

10 수학은 한 번 포기하면 따라잡을 수 없나요?
수학 공부는 선수학습을 바탕으로 이루어집니다. 선수학습이란 앞서 배운 모든 것을 의미합니다. 수학은 벽돌 쌓기와 같습니다. 수학을 포기하지 말고 이전 학년의 교과서를 펼쳐보는 것으로 따라잡을 수 있음을 명심하세요. 선행학습보다 선수학습이 중요한 과목이 바로 수학이니까요.

11 수학적 사고력은 어떻게 기르면 되나요?
생활 속에서 끊임없이 수학적인 발견을 해나가는 것이 좋습니다. 예를 들어 지하철 노선도를 보면서 가야 할 역을 찾고, 갈 수 있는 방법은 몇 가지나 있는지 알아보는 것도 흥미로운 수학 활동이거든요. 그리고 무엇보다 중요한 것은 부모가 갖는 수학적인 편견입니다. 수학은 어렵고 재미없는 것임을 은연중에 아이에게 흘리지는 않았는지 점검해보세요.

12 서술형 평가는 어떻게 준비하죠?
수학적 의사소통 능력, 다시 말해 문제를 해결하는 과정, 정답의 근거가 되는 논리적 흐름을 자신만의 언어로 설명할 수 있어야 합니다. 이를 위해서는 독서와 토론, '결론과 이유'가 나와 있는 신문이나 잡지 글의 문장들을 따라 써보게 하는 활동이 도움이 됩니다. 그러나 무엇보다 중요한 것은 수학 공부에 대한 자발적 동기겠지요.

엄마가 꼭 알아야 할 초등 수학 핵심 영역 베스트 4
수와 연산 초등 과정에서 배우는 수학의 가장 기본이 되는 영역이다. 다른 영역에 비해 실생활과 연계된 부분이 많으므로 실제 생활에서 사용되는 수나 개념을 중심으로 학습하는 것이 좋다. 특히 자연수, 분수, 소수가 필요해진 배경이나 연산의 여러 가지 알고리즘(세로셈, 어림셈 등)을 잘 이해할 수 있도록 지도하는 것이 핵심이다.
기하 수학에서 가장 중요한 영역 중 하나이지만 아이들이 매우 어려워하는 영역이기도 하다. 특히 도형을 조작하는 활동이나 공간 감각을 요구하는 여러 활동에서 아이들마다 심한 편차를 보이기도 한다. 이 때문에 기하 영역은 다른 어떤 영역보다 교구 등을 활용한 실제적이고 구체적인 조작 활동이 큰 도움이 된다. 초등 과정에서는 도형의 정확한 개념을 익히는 것이 매우 중요하다.
측정 길이와 시간, 들이와 무게 등 생활 속에서 수로 표현할 수 있는 양적인 것들을 다루는 영역을 '측정'이라고 한다. 측정 영역은 다른 영역보다 실생활과의 연계가 중요하다. 실제 사용되는 여러 가지 측정 단위를 이해하고 옳게 사용할 수 있게 하는 활동이 병행되어야 하며, 무엇보다 측정값에 대한 적절한 양감을 길러야 측정 단위 변환이나 연산 등을 정확하고 수월하게 해낼 수 있다.
문제 해결 초등 과정에서는 '수와 연산', '기하', '측정'을 제외한 기타 단원을 모두 '문제 해결' 영역으로 묶을 수 있다. 이 영역은 크게 '통계, 확률'과 '문제 해결 방법' 두 가지 주제로 나뉜다. 평가 방법은 일률적인 한 가지 방법만으로 찾아내기 보다는 다양한 방법으로 표현하는 능력을 평가하는 방식으로 변화하고 있으므로 해결 방법의 다양성에 포커스를 맞추는 것이 좋다.

사칙연산 기호의 유래

+(더하기표)
13세기경 이탈리아의 수학자 레오나르도 피사노가 7 더하기 8을 '7과 8'로 썼는데, 라틴어 '…과'를 'et'라고 쓰기 때문에 이를 줄여 덧셈(+)의 기호가 만들어졌다고 한다.
-(빼기표)1489년 독일의 수학자 비드만이 '모자란다'라는 뜻의 라틴어 'minus'의 약자 '-m'에서 '-'만 따서 쓰면서 생겨났다고 한다.
×(곱하기표)처음 사용한 사람은 영국의 윌리엄 오트레드다. 어떻게 해서 이런 기호가 만들어졌는지에 대해서는 전해지는 유래가 없다.